Come calcolare spigolo e diagonale di un cubo conoscendo la sua superficie laterale

DOMANDA di Elena

La superficie laterale di un cubo è equivalente a quella di un prisma retto avente per base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano e . Sapendo che l'altezza del prisma è del perimetro della base, calcola la misura dello spigolo del cubo e della sua diagonale.

RISPOSTA:

Cominciamo con lo scrivere i dati che il problema ci fornisce facendo riferimento alla figura riportata di seguito:

Prisma_e_cubo

(cateto minore della base del prisma );
(cateto maggiore della base del prisma );
(altezza prisma è 9/4 del perimetro di base);
(superficie laterale cubo è uguale a quella del prisma);

utilizzando questi dati dobbiamo calcolare la misura dello spigolo del cubo (che denotiamo con ) e della sua diagonale (che denotiamo con ).

CALCOLO IPOTENUSA della base del prisma

Denotiamo con la lettera l'ipotenusa della base del prisma. Applicando il teorema di Pitagora si ha:

;

CALCOLO PERIMETRO della base del prisma

Denotiamo con il perimetro della base del prisma:

CALCOLO ALTEZZA del prisma

Per calcolare l'altezza del prisma utilizziamo il dato 3 del problema:

CALCOLO SUPERFICIE LATERALE prisma

Ricordando che la superficie laterale di un prisma si calcola moltiplicando il perimetro della base per l'altezza del prisma, si ha:

CALCOLO SPIGOLO del cubo

Dalla traccia del problema sappiamo che la superficie laterale del cubo è equivalente a quella del prisma, quindi:

La superficie laterale di un cubo si ottiene sommando 4 facce del cubo, che sono tutte uguali. Pertanto, l'area della base del cubo, che corrisponde ad una sola faccia e che denotiamo con , si può calcolare dividendo la superficie laterale per 4: